15. tétel: Nemlineáris egyenletek megoldása

(Húrmódszer, szelőmódszer, Newton-módszer, iterációs módszerek.)

Feladat: F(x) = 0 egyenlet, illetve a P(x) = 0 polinom gyökeinek meghatározása.

Az egyenlet gyökeinek megállapítása, speciális esetekben:

a) Grafikus módszer: ha az F(x) függvény görbéjét az [a,b] intervallumban fel tudjuk vázolni, akkor e görbének az x tengellyel vett közös pontjai adják a gyököket.

b) Analítikus módszer: ha F(x) az [a,b] intervallumban folytonos és F(a)*F(b) < 0, akkor az F(x) egyenletnek van gyöke a zárt intervallumban. Ha emellett szigorúan monoton, akkor pontosan egy gyöke van.

Egyenletmegoldási módszerek:

1.) Intervallum-felezés

Tegyük fel, hogy az I0 = [a,b] intervallum tartalmazza az F(x) = 0 egyenlet x* gyökét. I0-ból kiindulva előállítunk egy olyan i1, i2, …, in egymásba skatulyázott intervallum-sorozatot, melynek mindegyike tartalmazza x*-t. Ha In intervallum hossza tart a 0-hoz n  ∞ esetén, akkor a gyök tetszőleges pontossággal közelíthető.

Tegyük fel, hogy F(x) folytonos az I0 = [a0, b0] intervallumban, F(a0)*F(b0) < 0, és tudjuk, hogy F(x)-nek csak egyetlen gyöke van I0-ban. Felezzük meg I0-t. Ekkor vagy a baloldali, vagy a jobboldali részben van a gyök, vagy pont a felezőpontban. Ez utóbbi esetben nyilván készen vagyunk, különben folytassuk az intervallum-felezést mindig abban a részintervallumban, melyben a gyök található, és addig, amíg a gyököt meg nem kapjuk. Nyilván, az intervallumok hossza tart a nullához, így a gyök tetszőleges pontossággal közelíthető.

2.) Húrmódszer és szelőmódszer

Tegyük fel, hogy F(x) folytonos az [x1, x2] intervallumban, F(x1)*F(x2)<0, és tudjuk, hogy F(x)-nek csak egy gyöke van az intervallumban.

Az (x1, F(x1)), (x2, F(x2)) pontokat összekötő húr messe az x tengelyt az x3 pontban. Számítsuk ki F(x3) értékét. Ha ez 0, akkor megkaptuk az egyenlet gyökét, különben az x1, x2 pontok közül tartsuk meg az, melyre F(x3)*F(xi) < 0 (i=1,2). Ismételjük a fenti eljárást, így valamelyik lépésben megkapjuk az egyenlet gyökét, vagy egy végtelen sorozathoz jutunk, mely konvergál az egyenlet gyökéhez. Ez a húrmódszer.

Amennyiben a fenti eljárásnál nem foglalkozunk az előjellel, hanem xn+1 képzéséhez mindig az xn és xn-1 pontokat használjuk, nyilván sokkal gyorsabban eljuthatunk a megoldáshoz, ha a kapott sorozat konvergál a megoldáshoz (ez ugyanis nem mindig teljesül ebben az esetben). Ez a szelőmódszer.

3.) Newton – módszer

A húrmódszernél és a szelőmódszernél az F(x) függvény gyökének közelítéséhez a függvény húrját használtuk. Hatásosabb a módszer akkor, ha érintőkkel dolgozunk.

Legyen x0 az F(x) = 0 egyenlet x* gyökének elég jó közelítése. Húzzuk meg az F(x) függvény (x0, F(x0)) pontbeli érintőjét, és jelölje x1 az érintő x tengellyel vett metszéspontját. Ezután húzzuk meg az F(x) függvény (x1, F(x1)) pontbeli érintőjét és jelölje x2 az érintő x tengellyel vett metszéspontját… Íly módon egy x0, x1, x2,… sorozatot nyerünk.

Xn+1 = xn – F(xn)/F’(xn)	(n = 0, 1, 2,…)

Tétel: Tegyük fel, hogy x0 és x* között F(x) kétszeresen differenciálható, F’(x)≠0, F’’(x)≠0, valamint F(x0)*F’’(x0) > 0. Ekkor a Newton módszer konvergens.

Megjegyzés:
Az ún. módosított Newton módszer kevésbé munkaigényes, igaz kevésbé hatásos is: itt a függvény görbéjét az (xn, F(xn)) ponton áthaladó F’(x0) iránytangensű egyenessel helyettesítjük:
xn+1 = xn – F(xn)/F’(x0)	(n = 0, 1, 2, …)

4.) Iterációs módszerek - Fokozatos közelítések módszere

Az F(x) = 0 egyenletet valamilyen átalakítással hozzuk x = f(x) alakra. Legyen x0 valamely alkalmas kezdőérték, és képezzük a következő sorozatot:

X1 = f(x0)

X2 = f(x1), …

xn+1 = f(xn)	(n = 0, 1, 2, …)

Ha a fenti sorozat konvergens és f(x) folytonos, a határérték az eredeti egyenlet megoldása lesz.

NUMERIKUS ANALÍZIS

Frena András

2002-06-22T14:39:00

Peter Szamoskozi