Interpolációs kvadratúra formulák. Newton-Cotes formulák és speciális eseteik. Összetett formulák.

Feladat az határozott integrál kiszámítása. Kézenfekvő a Newton-Leibniz formula, mely alapján , ahol F az f primitív függvénye, ám számos esetben a primitív függvényt vagy nem tudjuk meghatározni, vagy túl bonyolult vagy az [a,b] intervallumnak csak egyes kiválasztott x pontjaiban, az ún. alappontokban ismerjük. Ekkor az integrál közelítő kiszámítására a kvadratúraformulákat használjuk.

Ezek általános alakja:

, ahol ci konstans.	(1)

=Q(f)+R,

R jelöli a kvadratúraformula hibáját. A kvadratúraképletek alkalmazhatóságának feltétele, hogy az f(x) integrandusnak és deriváltjának numerikus értékei az alappontokban adottak legyenek. Azokat a képleteket , melyek csak függvényértékekkel számolnak, középérték-formuláknak, azokat, melyek a derivált értékeit is felhasználják, Hermite-féle kvadratúra formuláknak nevezzük.

Megjegyzés:

Ha a kvadratúra alappontjai között szerepel az intervallum mindkét végpontja, akkor a formulát zártnak, ha egyik végpontja sem szerepel, akkor nyíltnak, egyéb esetekben félig nyíltnak ill. zártnak nevezzük.

Az (1) formulából, számunkra csak az első tag érdekes, azaz egyszerűbben a feladat az határozott integrál integrál kiszámítása. Ha ki szeretnénk kerülni, hogy az együtthatók az intervallumtól függjenek, a közelítő formulát szokás átalakítani a következő formára: .

A függvényértékek kiszámítását gyakran megkönnyíthetjük a következő módon. A (x) függvényt felbontjuk két tényező szorzatára: , ahol p(x) súlyfüggvény: . Így csak az f(x)-nek kell a helyettesítési értékeit kiszámolni, p(x) értékei nem szerepelnek a kvadratúra összegben.

Interpolációs kvadratúrák

Az interpolációs kvadratúrák során az f(x) integrandust a (lehetőleg kevés) alapponton áthaladó, megfelelő fokszámú p(x) interpolációs polinommal helyettesítjük. Ennek egy lehetséges megvalósítása, amikor f(x)-et az alappontokhoz tartozó Lagrange-féle interpolációs polinommal interpoláljuk. Ekkor, ha eltekintünk az interpoláció hibájától:

,

ahol	és

Így az integrálás tagonként végezhető, azaz:

(2)

A Newton-Cotes formulák olyan interpolációs formulák, amelyben p(x)=1, s feltesszük, hogy az alappontok egyenlő távolságra vannak:

Téglányösszeg

Az [x0 , x0+h] intervallumban f(x)-et y=y0=f(x0) konstansértékű függvénnyel pótoljuk, amely f(x)-et az x0 alappontban, azaz a részintervallum bal oldali végpontjában felvett értékkel interpolálja.

Összegzéssel kapjuk a teljes intervallumra kiterjedő közelítést.

(Attól függően, hogy a részintervallumok melyik végpontjában felvett függvényértékekkel számolunk, megkülönböztetünk jobb-, ill. baloldali téglányösszeget):

(bal oldali)

(jobb oldali)

ahol M1 az alappontok teljes tartományán az felső korlátját jelöli.

Trapézformula

Az [x0 , x0+h] intervallumban f(x)-et elsőfokú polinommal helyettesítjük, amely az x0 és x1=x0+h alappontokban interpolálja. Ekkor

Összegzéssel adódik az összetett trapézformula :

ahol M2 az alappontok teljes tartományán az felső korlátját jelöli.

Simpson-formula

Az [x0 , x0+2h] intervallumban f(x)-et másodfokú polinommal helyettesítjük, amely az x0 , x1=x0+h és x2=x0+2h alappontokban interpolálja. Ekkor

Az összetett Simson-formulában n mindig páros:

17. Tétel Numerikus integrálás	3

Anna

2002-06-28T11:06:00

Peter Szamoskozi